yutsukarin 的个人博客

子群：系统里的小系统#

如果 $H\subseteq G$，而且 $H$ 自己在同一个运算下也是群，那么 $H$ 叫 $G$ 的子群。

这句话看起来废话，但它是代数里最常见的视角：大结构里有小结构，小结构继承大结构的运算。整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是有理数加法群 $(\mathbb{Q},+)$ 的子群；平面旋转群里，所有旋转 $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$ 组成一个子群；一般线性群 $\mathrm{GL}(V)$ 里，行列式为 $1$ 的线性变换组成特殊线性群 $\mathrm{SL}(V)$。

定义/提示

判断非空子集 $H\subseteq G$ 是子群，常用方法是验证：

$$a,b\in H\Longrightarrow ab^{-1}\in H.$$

这等价于 $H$ 对乘法和取逆封闭。

这个判别法很像线性代数里判断子空间：你不需要把八条公理全部重新验证一遍，只要看加法和数乘封闭。因为很多公理已经被大空间继承了。

同态：不改变语法的翻译#

群同态 $\varphi:G\to H$ 满足：

这句话的意思就是：先在 $G$ 里算再翻译，和先翻译到 $H$ 里再算，结果一样。

这和线性代数的线性映射完全同构：

只是群只有一个运算，线性空间有加法和数乘两个语法规则。

同态最重要的两个影子是核和像：

核记录“哪些东西被翻译成什么都不做”，像记录“翻译后真正到达了哪里”。

补充

在线性代数里，$\ker T$ 是被线性映射压扁到 $0$ 的方向。群同态里的核也是这个意思：它记录被同态压扁到单位元的部分。区别只是线性空间的“零”换成了群的“单位元”。

陪集和商群：把看不见的方向压掉#

线性代数里你见过商空间 $V/W$。它的意思是：如果两个向量只差一个 $W$ 里的向量，那我们就把它们看成同一个东西。

群论里也有类似想法。给定子群 $H\leq G$，左陪集是：

它不是一个点，而是一整团点。我们把 $G$ 按这些陪集分块，就像把向量空间按平行于 $W$ 的方向分层。

但是不是每个子群都能拿来做商群。要让陪集之间能自然相乘，必须要求 $H$ 是正规子群：

等价地，

这句话的直觉是：$H$ 在 $G$ 的内部共轭作用下不变。它不是随便躲在角落里的小系统，而是和整个 $G$ 的乘法结构相容。

定义/提示

若 $N\trianglelefteq G$ 是正规子群，则商群 $G/N$ 的元素是陪集 $gN$，乘法定义为：

$$(gN)(hN)=(gh)N.$$

正规性保证这个定义不依赖代表元选择。

这就是代数里非常常见的一件事：为了把某些差异忽略掉，你必须确认“忽略差异”这件事和原来的运算相容。

同态基本定理：核就是被压掉的方向#

群同态基本定理是群论里第一条真正把结构讲透的定理：

这句话的意思很像线性代数中的秩-零化度思想。一个同态把 $G$ 里的某些方向压掉了，剩下真正有区别的部分，刚好就是它的像。

如果你把 $\varphi$ 想成一个投影，那么 $\ker\varphi$ 就是投影看不见的方向。把看不见的方向全部识别成同一个东西以后，剩下的结构就和投影出来的影子一样。

群作用：群不只是自己乘自己#

群最自然的解释是“动作”，所以一个群应该可以作用在某个集合上。

定义/提示

群 $G$ 在集合 $X$ 上的一个作用，是一个映射

$$G\times X\to X,\qquad (g,x)\mapsto g\cdot x$$

满足：

$$e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x).$$

这就是把群元素解释成 $X$ 上的变换。每个 $g\in G$ 都给出一个双射：

所以群作用等价于一个群同态：

其中 $S_X$ 是 $X$ 上所有置换组成的对称群。

这句话非常重要：任何群只要开始行动，就会变成置换群的一个影子。

于是轨道和稳定子自然出现：

轨道是点能被群带到哪里，稳定子是哪些群元素虽然动了系统但没有动这个点。轨道-稳定子定理说：

在有限群情形下成立。

这其实是拉格朗日定理的运动版。子群把群分成陪集，稳定子把作用分成轨道。

Sylow 定理为什么重要#

有限群理论里，Sylow 定理看起来像一组技术结论，其实它回答的是：

一个有限群的素数幂部分能不能被群内部看见？

如果 $|G|=p^n m$，其中 $p\nmid m$，那么 $G$ 中存在阶为 $p^n$ 的子群，叫 Sylow $p$-子群。并且所有 Sylow $p$-子群彼此共轭，数量满足一些整除和同余条件。

补充

Sylow 定理的味道很像线性代数里“特征值不一定在原域里，但在合适扩域里会出现”。有限群阶数的素因子不是装饰，它们会逼迫群里出现对应的局部结构。

当然 Sylow 定理的证明需要群作用，尤其是让群作用在某些子群集合上。这里你应该看到群作用的威力了：我们不是为了好玩才定义群作用，而是因为群作用能把内部结构变成可计数、可比较、可分解的东西。

等价关系：分类以前先说明什么叫一样#

集合 $X$ 上的一个关系 $\sim$ 如果满足：

就叫等价关系。这三条分别是自反、对称、传递。

等价关系的意义不是“判断两个东西完全相等”，而是规定“在当前问题里，我们打算把哪些东西看成一样”。比如整数里同余：

意思不是 $a=b$，而是 $a-b$ 是 $n$ 的倍数。在模 $n$ 的世界里，它们没有区别。

每个等价关系都会把 $X$ 分成不相交的等价类：

反过来，每个分类也定义一个等价关系：同一类里的元素彼此等价。

定义/提示

等价关系和分类是一回事的两个方向：

$$\text{等价关系}\Longleftrightarrow \text{集合的划分}.$$

代数里只要出现商结构，背后几乎一定有一个等价关系。

群论里的陪集分解、环论里的商环、模论里的商模，全部都在用这个想法。你可以把商结构理解成一种“有纪律的遗忘”：我们故意忘掉某些差别，但忘掉以后运算仍然不能出错。

循环群：一个元素生成一个世界#

群里最简单的子群来自一个元素 $g$ 的所有幂：

它叫由 $g$ 生成的循环子群。如果 $G=\langle g\rangle$，那么 $G$ 是循环群。

循环群非常重要，因为它是“一个动作反复做”的代数模型。旋转 $90^\circ$ 反复做四次回到原位；整数加法群由 $1$ 反复加生成；复平面里的 $n$ 次单位根由

生成。

有限循环群的结构极其清楚：

无限循环群的结构也极其清楚：

所以可以说：

定义/提示

每个循环群都同构于 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。

元素 $g$ 的阶是最小正整数 $n$，使得：

如果不存在这样的 $n$，则称 $g$ 阶无限。有限群中任意元素的阶都整除群的阶，这是拉格朗日定理的直接推论，因为 $\langle g\rangle$ 是 $G$ 的子群。

这已经开始有数论味了。比如在乘法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 中，元素阶整除 $p-1$。于是费马小定理：

对 $p\nmid a$ 成立。这不是数论突然变魔术，而是群论在说话。

置换群：群论的坐标系#

如果 $X$ 是集合，$X$ 上所有双射组成的群记作 $S_X$。当 $X=\{1,2,\ldots,n\}$ 时，记作 $S_n$，叫 $n$ 次对称群。

置换可以写成循环，比如：

表示

互不相交的循环可以交换，所以每个置换都能分解成不交循环的乘积。这是置换群里最基本的结构定理。

例如：

它的阶是各个循环长度的最小公倍数：

置换还能分解成对换，即交换两个元素的置换。一个置换分解成对换的方式不唯一，但对换个数的奇偶性不变。于是得到交错群：

它是 $S_n$ 的正规子群，且

为什么置换群重要？因为 Cayley 定理说，每个群都同构于某个置换群的子群。

补充

Cayley 定理的含义不是“所有群都只是置换群所以没意思”，而是“置换群给所有群提供了一套坐标系”。就像每个有限维向量空间都同构于 $k^n$，但我们不会因此说抽象向量空间没意义。

具体地，让 $G$ 作用在自己上：

每个 $g$ 都给出一个 $G$ 上的置换，于是得到嵌入：

这说明群元素可以被看成“左乘这个动作”。群还是那个群，只是我们把它表示成了集合上的变换。

正规子群为什么比子群更自然#

子群是小系统，正规子群是能被商掉的小系统。

如果 $H\leq G$，你当然可以看左陪集 $gH$。但想定义乘法：

就会遇到代表元选择问题。假如 $gH=g'H$，$hH=h'H$，我们希望 $ghH=g'h'H$。这件事一般不成立，除非 $H$ 和整个群乘法相容到足够好，也就是正规。

正规性的共轭定义：

直觉上是在说：你从 $G$ 的任何角度看 $H$，它还是自己。

这里的“角度”就是共轭。群里两个元素 $a,b$ 如果存在 $g$ 使得：

就称它们共轭。共轭类也是群作用的轨道：$G$ 作用在自己上，

所以正规子群也可以说成：它是若干个共轭类的并。

这句话比定义更有画面感。普通子群可能被共轭“拧走”，正规子群则由完整的共轭轨道拼起来，拧来拧去还在自己里面。

直积：并排放置两个结构#

如果 $G$ 和 $H$ 是群，可以定义直积：

乘法逐分量进行：

这是一种最朴素的组合方式。两个系统互不干扰，并排运转。

有限阿贝尔群的结构定理告诉我们，每个有限阿贝尔群都可以分解成循环群的直积：

在合适条件下还能写成素数幂阶循环群的直积。这又和 $\mathbb{Z}$-模结构定理一致。

非阿贝尔群的分解复杂得多，因为两个子结构可能不是简单并排，而是互相作用。后面如果讲半直积，就会看到“一个群作用在另一个群上”如何制造新群。

类方程：把群按共轭轨道分块#

群 $G$ 对自己共轭作用。元素 $a$ 的稳定子是中心化子：

轨道是共轭类：

轨道-稳定子定理给出：

把所有共轭类加起来，就得到类方程：

其中 $Z(G)$ 是中心：

类方程是证明 $p$-群中心非平凡的关键。若 $|G|=p^n$，那么除中心外的共轭类大小都被 $p$ 整除，于是

所以 $Z(G)$ 至少有 $p$ 个元素，不可能只有单位元。

这就是抽象代数里常见的“计数逼迫结构”。你没有显式构造中心元素，但计数告诉你它必须存在。

Sylow 定理再看一遍#

现在我们能更自然地看 Sylow 定理了。

设

阶为 $p^n$ 的子群叫 Sylow $p$-子群。Sylow 定理说：

1. Sylow $p$-子群存在；
2. 任意两个 Sylow $p$-子群共轭；
3. Sylow $p$-子群个数 $n_p$ 满足：

这些条件在小阶群分类里非常好用。比如 $|G|=pq$，其中 $p<q$ 是素数，如果 $p\nmid(q-1)$，就能推出群是循环群。原因是 Sylow 子群数量被整除条件和同余条件卡得很死。

补充

Sylow 定理不是为了做竞赛式分类题才存在。它告诉我们有限群的素数幂部分不是外部算术信息，而会以内在子群的形式出现。群阶里的素因子会在群结构里留下可见痕迹。

理想：环论里的正规子群#

群论里要做商群，需要正规子群。环论里要做商环，需要理想。

定义/提示

交换环 $R$ 的一个子集 $I$ 称为理想，如果：

• $(I,+)$ 是 $R$ 的加法子群；
• 对任意 $r\in R$ 和 $a\in I$，有 $ra\in I$。

理想的直觉是“可以被整个环吸收的加法子群”。比如 $n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想。你拿任何整数乘一个 $n$ 的倍数，仍然是 $n$ 的倍数。

为什么不是子环？因为子环太硬了。商环要把 $I$ 里的元素全部看成 $0$，这要求乘法也和这种识别相容。如果 $a$ 被看成 $0$，那么 $ra$ 也必须被看成 $0$。这正是理想的吸收性。

商环定义为：

加法和乘法分别是：

如果你熟悉模运算，那么 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 就是最朴素的商环。我们把相差 $n$ 的倍数的整数看成同一个剩余类。

环同态基本定理#

环同态 $f:R\to S$ 的核是：

它一定是理想。然后有：

你看，同态基本定理又来了。群、环、线性空间里都是同一个故事：

这就是为什么我说代数不是背定义。你背群同态基本定理、环同态基本定理、线性映射基本定理，会觉得有三件事；你从结构看，它们就是同一件事在三个语境里的投影。

素理想和极大理想：把整数的素数推广出去#

整数里最重要的东西是素数。素数 $p$ 的核心性质不是“只能被 $1$ 和自己整除”这句小学生定义，而是：

把它翻译成理想语言，就是：

于是得到素理想。

定义/提示

交换环 $R$ 的真理想 $\mathfrak{p}$ 称为素理想，如果：

$$ab\in\mathfrak{p}\Longrightarrow a\in\mathfrak{p}\text{ 或 }b\in\mathfrak{p}.$$

真理想 $\mathfrak{m}$ 称为极大理想，如果不存在真理想 $I$ 满足

$$\mathfrak{m}\subsetneq I\subsetneq R.$$

素理想对应“商掉以后没有零因子”：

极大理想对应“商掉以后是域”：

这两句话非常漂亮。它们告诉我们：理想不是环里的垃圾桶，而是观察环的镜头。你商掉不同理想，就得到不同分辨率下的环。

多项式环：方程的栖息地#

多项式环 $R[x]$ 是从环 $R$ 出发构造的新环。它的元素是：

多项式环看起来很初等，但它是环论和域论的桥。方程 $f(x)=0$ 的问题，本质上是多项式在某个系数系统里有没有根；如果没有根，我们能不能扩大系数系统，让根出现。

例如 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 里没有根，但在 $\mathbb{C}$ 里有根。于是 $\mathbb{C}$ 可以看成：

这里 $x$ 的剩余类就扮演 $i$，因为在商环里：

这件事很重要：我们不是凭空发明 $i$，而是通过商掉多项式关系，把一个形式符号变成满足关系的元素。

分解：UFD、PID、欧氏整环#

整数有唯一分解：

多项式环 $k[x]$ 也有唯一分解。于是环论自然会问：什么样的环里有唯一分解？

定义/提示

一个整环 $R$ 称为唯一分解整环，如果每个非零非单位元素都能分解成不可约元素乘积，并且分解在单位和排列意义下唯一。

主理想整环 PID 更强：每个理想都由一个元素生成：

欧氏整环更强：存在一个类似“大小”的函数，使得可以做带余除法。

典型关系是：

反过来一般不成立。

这条链和线性代数、模论关系非常深。比如有限生成阿贝尔群的结构定理，本质上就是 $\mathbb{Z}$ 作为 PID 上的有限生成模分解；矩阵的 Smith 标准形也是 PID 上模分类的计算版本。

补充

如果你只从整数分解看 UFD，会觉得这是数论。如果从理想看 PID，会觉得这是环论。如果从有限生成模看结构定理，会发现它又变成线性代数。代数最迷人的地方就在这里：同一个现象换一个语言，忽然变成另一个学科的定理。

整环、除环和域#

环里可能出现零因子。比如在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中：

但 $2$ 和 $3$ 都不是 $0$。这说明乘法会把非零信息压没。

定义/提示

交换环 $R$ 若 $ab=0$ 推出 $a=0$ 或 $b=0$，则称为整环。

整数环 $\mathbb{Z}$、域 $F$、多项式环 $F[x]$ 都是整环。整环里可以谈分式，因为没有零因子，分母不会奇怪地把信息压掉。

如果环中每个非零元素都有乘法逆元，但乘法不要求交换，称为除环。Hamilton 四元数 $\mathbb{H}$ 是经典例子。若除环乘法交换，就是域。

不过交换整环不一定是域，比如 $\mathbb{Z}$。

商域：把整环补成可以除的世界#

整数 $\mathbb{Z}$ 不是域，但它可以嵌入有理数域 $\mathbb{Q}$。有理数就是形式分式：

一般整环 $R$ 也可以构造商域：

它由形式分式 $a/b$ 组成，并按交叉相乘定义等价：

这要求 $R$ 没有零因子，否则分式等价会出问题。

商域是“允许除法”的最小扩张。比如：

是有理函数域。这里你又看到了代数和几何的联系：多项式函数不允许除，理性函数允许除，但要小心分母为零的位置。

理想运算：交、和、积与根#

理想不仅能取商，还能彼此运算。若 $I,J$ 是 $R$ 的理想，则：

也都是理想。

从几何直觉看，理想越大，满足它的点越少。因为方程越多，限制越强。所以理想包含关系和几何子集包含关系方向相反。

理想的根定义为：

它记录“某个元素的幂已经落进 $I$”。在代数几何里，根理想对应同一个零点集合。比如 $x$ 和 $x^2$ 定义的零点都是 $0$，但理想 $(x)$ 和 $(x^2)$ 不一样。前者更“约化”，后者带有重数或无穷小厚度的信息。

补充

这就是为什么现代数学不会简单地把对象等同于点集。点集会丢掉重数、切向和无穷小信息；环和理想能保留这些结构。

环的特征与素域#

环 $R$ 的特征是最小正整数 $n$，使得：

如果不存在这样的正整数，则特征为 $0$。

域的特征只能是 $0$ 或素数 $p$。如果特征是合数 $ab$，那么：

会出现零因子，这和域矛盾。

每个域都包含一个最小子域，叫素域。特征 $0$ 的素域同构于 $\mathbb{Q}$，特征 $p$ 的素域同构于：

所以任何域都从 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{F}_p$ 出发。这也是为什么域论天然分成特征 $0$ 和正特征两条线。

多项式环里的除法#

如果 $F$ 是域，那么 $F[x]$ 可以做带余除法：对 $f,g\in F[x]$ 且 $g\neq 0$，存在唯一 $q,r\in F[x]$，使得：

所以 $F[x]$ 是欧氏整环，进而是 PID 和 UFD。

这直接给出最大公因式理论。多项式 $f,g$ 的最大公因式可以通过 Euclid 算法求出，而且存在 Bezout 等式：

如果 $\gcd(f,g)=1$，则存在 $a,b$ 使得：

这在线性代数和域论里到处出现。比如最小多项式分解成互素因子时，可以用 Bezout 等式构造投影，从而得到空间分解。这是 Jordan/C rational canonical form 背后的一部分机制。

不可约多项式：多项式环里的素数#

在 $F[x]$ 中，不可约多项式扮演素数角色。若 $p(x)$ 不可约，则理想 $(p(x))$ 是极大理想，因此：

是域。

这就是构造扩域的机器。想给 $p(x)$ 添加一个根，就商掉关系 $p(x)=0$。商环里的 $x+(p(x))$ 自动满足：

严格写法可以抽象一点，但直觉就是这样：形式符号 $x$ 被迫遵守 $p(x)=0$，于是它成了新域里的一个根。

例如在 $\mathbb{F}_2$ 上，

不可约，于是：

是四元域 $\mathbb{F}_4$。其中若 $\alpha$ 是 $x$ 的剩余类，则：

所以 $\mathbb{F}_4$ 的元素是：

中国剩余定理：商环的拼接#

如果 $I,J$ 是交换环 $R$ 的理想，并且

则称它们互素。中国剩余定理说：

如果 $I,J$ 互素，还可写成：

在整数里，这就是熟悉的：

当 $\gcd(m,n)=1$ 时成立。

中国剩余定理的直觉是：如果两个模条件互不干扰，那么同时满足它们等价于分别满足它们。

这在表示论和线性代数里也会出现。比如最小多项式分解为互素因子时，模会按这些因子分解；这就是 primary decomposition 的代数底层。

UFD 不是 PID：分解元素和分解理想不同#

唯一分解整环关心元素能不能唯一分解。PID 关心理想是不是都由一个元素生成。PID 一定是 UFD，但 UFD 不一定是 PID。

为什么理想更强？因为理想不是单个元素，而是一整个“条件系统”。一个元素生成的理想是主理想：

如果每个理想都这样简单，那么环的结构非常接近整数。

在 PID 上，有限生成模有非常漂亮的结构定理。于是你能统一理解：

1. 有限生成阿贝尔群分类；
2. Smith 标准形；
3. 线性算子的有理标准形；
4. 一些链复形的同调计算。

这就是“环论为什么会突然接到线性代数和拓扑”的原因。不是它乱接，是 PID 上模论太会统一现象了。

域扩张：给方程补上根#

如果 $K$ 是包含 $F$ 的域，我们称 $K/F$ 是域扩张。比如：

如果 $\alpha\in K$ 是某个 $F[x]$ 中非零多项式的根，则称 $\alpha$ 在 $F$ 上代数。所有可以由 $F$ 和 $\alpha$ 通过四则运算生成的元素组成：

如果 $\alpha$ 的最小多项式是 $m_\alpha(x)$，那么：

这句话是域论里特别核心的桥。它把“加一个根”变成“对多项式环取商”。

例如：

在右边，$x$ 的剩余类就是 $\sqrt{2}$ 的形式替身。

扩张次数：把域扩张看成向量空间#

如果 $K/F$ 是域扩张，那么 $K$ 可以看成 $F$ 上的向量空间。它的维数记作：

这就是域论和线性代数最直接的连接。

例如 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 里的每个元素都能唯一写成：

所以：

扩张次数满足乘法公式：

只要 $F\subseteq K\subseteq L$ 且维数有限。

这像不像线性空间维数的连乘？其实它就是线性空间维数，只不过对象是域。

分裂域和有限域#

一个多项式 $f(x)\in F[x]$ 不一定在 $F$ 里分解成一次因式。我们可以找一个扩域 $K$，让它完全分裂：

最小的这样的域叫分裂域。

有限域则是另一条非常漂亮的线。每个有限域的元素个数一定是素数幂：

并且对每个素数幂 $p^n$，存在唯一的有限域，记作 $\mathbb{F}_{p^n}$。

有限域把群、环、域全部绑在一起：它的加法群是 $p$-群，它的非零元素构成乘法群：

而这个乘法群是循环群。

你看，这里群论又回来了。

尺规作图：几何问题的域论翻译#

尺规作图为什么属于抽象代数？因为每一步作图都对应对坐标域做有限次加减乘除和开平方。于是可作图长度必须落在一串二次扩张里：

且

所以最终扩张次数必须是 $2$ 的幂。这就是为什么三等分任意角、倍立方、化圆为方这类问题会和域扩张挂钩。

这非常适合作为“高观点解释初等问题”的例子。初等几何里画不出来的东西，不是你尺子没拿稳，而是坐标域不允许。

代数元与超越元#

设 $K/F$ 是域扩张，$\alpha\in K$。如果存在非零多项式 $f(x)\in F[x]$，使得：

则称 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元。否则称为超越元。

例如 $\sqrt{2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上代数元，因为它满足：

$\pi$ 和 $e$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的超越元，这个结论不容易证明，但可以先知道它们不是任何有理系数非零多项式的根。

每个代数元都有最小多项式 $m_\alpha(x)$，它是所有让 $\alpha$ 为根的多项式里次数最低、首一的那个。它一定不可约。

于是：

这句话的含义非常强。它说明只要知道 $\alpha$ 的最小多项式，就知道 $F(\alpha)$ 作为 $F$-代数的全部结构。

为什么扩张次数等于最小多项式次数#

如果 $\deg m_\alpha=n$，那么 $F(\alpha)$ 中每个元素都能唯一写成：

原因是 $\alpha^n$ 可以用低次幂表示。因为

所以高次幂都能不断降下来。另一方面，如果低次幂之间有非平凡线性关系：

就会得到一个次数低于 $n$ 的多项式让 $\alpha$ 为根，和最小性矛盾。

于是：

这就是域论里最典型的“多项式次数 = 向量空间维数”。方程的代数复杂度被翻译成线性空间维数。

分裂域：给所有根一个共同住所#

给定 $f(x)\in F[x]$，它在 $F$ 上可能没有根，也可能有几个根但分不完。分裂域就是包含 $F$ 且让 $f$ 完全分解成一次因式的最小域。

比如 $x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是：

因为两个根是 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$。

但 $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域不是简单的 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$，因为其它两个根是：

其中

所以还要加入 $\omega$：

这就是为什么域论后面会走向 Galois 理论。一个多项式的根不是孤立的，它们之间有对称性。Galois 群就是这些根的对称群。

补充

如果说群论研究“已经给出的对称性”，那么 Galois 理论研究“方程根之间隐藏的对称性”。这就是抽象代数里最漂亮的回环之一：我们从方程走到域扩张，又从域扩张回到群。

有限域的构造#

有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$ 可以这样构造：先取 $\mathbb{F}_p$，再找一个次数 $n$ 的不可约多项式 $f(x)\in\mathbb{F}_p[x]$，令：

例如：

为什么元素个数是 $p^n$？因为每个剩余类都有唯一代表：

每个 $a_i$ 有 $p$ 种选择，所以一共 $p^n$ 个。

有限域还有一个很重要的性质：

非零元素满足：

因为 $\mathbb{F}_q^\times$ 是阶为 $q-1$ 的乘法群。

事实上 $\mathbb{F}_q^\times$ 是循环群。这说明存在一个元素 $\alpha$，使得每个非零元素都能写成 $\alpha^i$。在编码理论、密码学、有限几何里，这个事实非常常用。

Frobenius：正特征里的神奇自同态#

如果域的特征是 $p$，那么有：

中间二项式系数都被 $p$ 整除，所以在特征 $p$ 里消失。

于是映射

是域同态，叫 Frobenius 同态。在有限域上它甚至是自同构。

这件事在特征 $0$ 里完全不成立，所以正特征代数有很多独特现象。未来如果讲代数几何或数论，Frobenius 会反复出现。

尺规作图再细一点#

尺规作图允许两种操作：画直线和画圆，然后取交点。翻译成坐标后，直线交直线只需要解一次方程；直线交圆或圆交圆最终会解二次方程。因此每一步最多引入一个平方根。

从初始域 $\mathbb{Q}$ 出发，可作图点的坐标属于某个域塔：

其中

所以整体扩张次数是 $2$ 的幂。

倍立方要求构造 $\sqrt[3]{2}$。它的最小多项式是：

次数是 $3$，不整除任何 $2^n$，所以不可尺规作图。

正三等分任意角也会遇到三次方程；化圆为方则涉及 $\pi$ 的超越性。于是三个古典作图问题都被域论干净地解释了。

这很像解析几何那篇里我们用射影和仿射观点解释圆锥曲线的“二级结论”。初等方法会给你很多技巧，高观点则告诉你为什么这些技巧有边界。

正规和可分：什么时候根的对称性足够完整#

域扩张里有两个技术词：正规和可分。它们一开始看起来很烦，但直觉并不复杂。

可分性关心根有没有重合。一个不可约多项式如果在分裂域里没有重根，就叫可分。特征 $0$ 的域上所有不可约多项式都可分，所以在 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 的普通讨论里你可以先放心。

正规性关心“只要出现一个根，就要出现全部共轭根”。如果 $K/F$ 是某些多项式的分裂域，它就是正规扩张。

有限扩张 $K/F$ 若既正规又可分，就叫 Galois 扩张。此时 Galois 群

的阶等于扩张次数：

这就是根的对称性足够完整的情况。

Galois 对应：子群和中间域反向对应#

Galois 理论最漂亮的定理是：如果 $K/F$ 是有限 Galois 扩张，那么中间域

和 Galois 群 $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ 的子群反向对应。

给一个中间域 $E$，看固定 $E$ 的自同构：

给一个子群 $H\leq G$，看被 $H$ 全部固定的元素：

于是：

包含关系反过来：

这很合理。中间域越大，需要固定的元素越多，允许的自同构越少。

补充

Galois 对应是“对象和对称性反向对应”的典型例子。几何里空间越对称，结构越少；结构加得越多，对称性就越少。代数里也是一样。

正规子群对应正规扩张。如果 $H\trianglelefteq G$，那么 $K^H/F$ 是 Galois 扩张，并且：

你看，商群又回来了。

可解群和根式可解#

五次方程为什么没有一般根式公式？这件事不能解释成“数学家没找到公式”，而是 Galois 群告诉你一般情况下不可能。

一个群叫可解群，如果它可以通过一串正规子群逐步分解，且每一步商群都是阿贝尔群。直觉是：这个群可以被一层层交换的结构拆开。

多项式用根式可解，大致对应它的 Galois 群是可解群。

二次、三次、四次方程的一般 Galois 群是可解的，所以有根式公式。一般五次方程的 Galois 群是 $S_5$，而 $S_5$ 不可解，所以不存在一般根式公式。

这里你能看到整个抽象代数的闭环：

这不是“超纲炫技”，而是解释为什么抽象代数值得学的最佳例子之一。

阿贝尔群就是 $\mathbb{Z}$-模#

这是模论里最应该先记住的例子。

任何阿贝尔群 $A$ 都是 $\mathbb{Z}$-模，因为整数可以作用在 $A$ 上：

反过来，任何 $\mathbb{Z}$-模的加法结构都是阿贝尔群。

所以：

这句话把群论和模论接上了。有限生成阿贝尔群结构定理其实就是 PID $\mathbb{Z}$ 上有限生成模的结构定理：

其中 $n_1\mid n_2\mid\cdots\mid n_k$。

这像不像矩阵标准形？当然像，因为它就是 Smith 标准形背后的结构。

线性算子也是 $k[x]$-模#

设 $V$ 是域 $k$ 上的向量空间，$T:V\to V$ 是线性算子。我们可以让多项式 $f(x)\in k[x]$ 作用在 $V$ 上：

于是 $V$ 变成一个 $k[x]$-模。

这句话特别重要，因为它把线性算子的分类变成了 $k[x]$-模的分类。Jordan 标准形、有理标准形、最小多项式、特征多项式，本质上都在说这个 $k[x]$-模怎么分解。

补充

这就是为什么线性代数后半部分会突然变得很抽象：你以为自己在研究一个矩阵 $A$，其实你在研究 $k[x]$ 通过 $x\mapsto A$ 作用在向量空间上得到的模。

如果 $k[x]$ 是 PID，那么有限生成 $k[x]$-模有结构定理，于是矩阵标准形就跟着出来。这比硬背 Jordan 块要自然得多。

张量文章里的左模和右模#

在《张量代数视角下的解析几何》里，我提过“逆变向量是矩阵乘法群的左模，协变向量是右模”。这句话在这里可以稍微说清楚一点。

列向量被矩阵从左边作用：

行向量被矩阵从右边作用：

如果变换基，列向量和行向量的变换方向会相反，所以一个自然是左作用，一个自然是右作用。张量的协变/逆变不是凭空吓人的指标游戏，而是在记录“谁从哪边被谁作用”。

模论给了这句话一个合适的家。

自由模和基#

向量空间最舒服的地方是有基。一个 $R$-模 $M$ 如果同构于若干份 $R$ 的直和：

就称为自由模。此时 $M$ 有基。

但一般模不一定自由。比如 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模不是自由模。因为自由 $\mathbb{Z}$-模没有非零扭元素，而 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中：

这个 $\bar{1}$ 不是 $0$，却被非零整数 $n$ 杀掉了。

定义/提示

模 $M$ 中元素 $m$ 若存在非零 $r\in R$ 使得 $rm=0$，则称 $m$ 是扭元素。由扭元素组成的部分常记作 $M_{\mathrm{tor}}$。

有限生成阿贝尔群的结构定理就是把一个 $\mathbb{Z}$-模拆成自由部分和扭部分：

扭部分再拆成循环群。

商模和同态基本定理#

如果 $N$ 是 $R$-模 $M$ 的子模，可以定义商模：

元素是陪集 $m+N$，数乘为：